Blaise Pascal, auteur des austères Pensées, inventeur de la machine à calculer, a aussi donné son nom à une des aventures les plus fascinantes des mathématiques : le triangle de Pascal. Ce triangle n’a rien de géométrique, c’est un tableau de nombres. Mais il fourmille de surprises, de merveilles, de mystères encore irrésolus.
Sur invitation du département de mathématiques jeudi 31 mars 2016, Nicolas Pouyanne, enseignant-chercheur à l’UVSQ, a offert pendant deux heures à plus de 80 élèves de Première S et Terminale S une conférence passionnante sur les coefficients binomiaux, leur calcul par le triangle de Pascal et de nombreuses propriétés qui en découlent.
Comme à son habitude, Nicolas Pouyanne a commencé par de simples définitions et quelques calculs élémentaires, faisant appel aux connaissances des élèves sur la loi binomiale et des notions de dénombrement, puis la complexité des notions est allée crescendo.
Après avoir construit le fameux triangle, ou tout du moins les quelques premières lignes (slide 1 et 2 du document 2), se sont ainsi invités cet après-midi-là, les nombres triangulaires, les nombres tétraédriques, les congruences, Newton et son binôme, les nombres premiers et Euclide et son lemme.
Une propriété a été démontrée et baptisée l’identité remarquable du paradis des collégiens :
On pensait se cantonner à des travaux en arithmétique mais, pour aborder les identités remarquables infinies, il a fallu mobiliser ses connaissances sur la dérivation et l’égalité de deux polynômes pour retrouver la notion de coefficient binomial en définissant :
et l’identité remarquable infinie :
Après une petite digression récréative sur le paradoxe des anniversaires (slide 7 du document 2), Nicolas Pouyanne a terminé avec la notion d’arbres binaires et leur dénombrement où l’on retrouve ce qui a été exposé auparavant dans le calcul des nombres de Catalan (slide 6 du document 2).
Dans la foulée il a invité les plus curieux à s’intéresser alors aux chemins de Dyck et au mouvement brownien, sujet sur lequel il était déjà venu faire une conférence à Bascan.
Les élèves ont chaleureusement applaudi Nicolas Pouyanne, que nous remercions très sincèrement pour son enthousiasme et sa disponibilité vis-à-vis de notre lycée.
